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20/10/02 TL. 선형대수 복습 - permutation matrix까지

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multiplier : pivot 아래 원소값을 pivot으로 나누어준 값.

U : upper triangle
L : Lower triangle
D : diagonal triangle

invertible : 역행렬을 가진다. 곱해서 단위행렬을 만들 수 있다.
1. 모든 행렬이 역행렬을 가지는 건 아니다.
2. gaussian elimination이 n pivots를 만들 수 있으면 역행렬 만들 수 있다. row exchange 허용
3. 역행렬은 유일하다.
4. Ax= b 이면, x = A^-1b이다. 유일하다.
5. x != 0이고, Ax = 0일 때, A는 역행렬을 가질 수 없다. 만약 A가 역행렬일 가지고 Ax = 0이면, x = A^-1 * 0 = 0
6. A가 2x2 matrix면, ad - bc != 0. iff det(A) != 0.
7. di를 원소로 가지는 대각행렬은 di가 0이 아니라면 역행렬 (A^-1)ij = 1/di를 가진다. 

A, B가 역행렬을 가지면, AB도 역행렬을 가진다.

Gauss-Jordan : [A I] = [I A^-1]꼴로 만듦. 즉, A를 gaussian elimination 하면서 I로 만듦.
A=LU
EA = U
A =E'U
=> A = LU 형태에서는 row exchange 없이 값 구할 수 있다.
Ax = LUx = b
Ux = L'b
x = U'L'b

(A+B)T = AT + BT
(AB)T = BTAT
(ABC)T = CTBTAT
(A')T = (AT)'

Symmetric Matrix : 대칭 행렬. AT = A
R : m x n -> RT : n x m, RTR : n x n. square symmetric matrix
(RTR)T = RT(RT)T = RTR => RTR sym.
RRT : m x m. sym.
RTR이나 RRT나 대각선의 수가 항상 양수이다.
LDU = A = AT = UTDLT -> U = LT
A = LDLT

permutation matrix : 치환 행렬. 열이나 행을 뒤섞음. 모든 열과 모든 행에 1을 갖는다.
PT도 마찬가진데, PT도 permutation matrix이다.
     [ 0 1 0 ]
P =[ 1 0 0 ]
     [ 0 0 1 ] 이런 꼴
A에 permutation을 미리 수행해도 되고, elimination 이후에 해도 됨. 주로 먼저 수행해놓고 쓰는 꼴을 사용함.
PA = LU

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