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연립 선형 방정식 : 선형 방정식 여러개로 이루어진 방정식
n개에 대한 일차 방정식은
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b 로 나타낼 수 있다.
linear system을 행렬과 vector의 형태로 문제를 푸는 것이 목표!
->linear combination
linear combination : cv + dw
v와 w에 대한 식이기 떄문에 linear하다고 할 수 있다.
->linear combination에서 중요한 2가지. vector addition, scalar multiplication
scalar : vector의 크기 (상수 하나)
vector : 여러 값 (2-D, 3-D...)
vector의 요소 하나 하나를 component라고 한다.
vector addition : 벡터끼리 합했을 때, 각 대응하는 component끼리.
scalar multiplication : 벡터에 scalar에 해당하는 값을 각 component에 곱할 수 있다.
linear combination은 scalar multiplication + vector addition이고, 모든 벡터는 linear combination으로 나타낼 수 있다.
vector v에 상수배를 하면 v를 지나는 직선을 얻을 수 있다.
cw + kv 하면 평면을 얻을 수 있다.
linear dependent : 선형 종속. 두 벡터를 상수배 해서 더했을 때. 한 차원 높은 도형으로 만들 수 없다.
linear independent : 선형 독립. 두 벡터를 상수배 해서 더했을 때, 한 차원 높은 도형으로 만들 수 있다.
ex) cu + dv로 평면을 구성할 수 있다.
dot product 내적
참고 :
m.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=jinohpark79&logNo=220011526532&proxyReferer=https:%2F%2Fwww.google.com%2F
21. 곱해서 더한다? 내적(dot product)의 의미
이번 공간은 내적의 의미에 대해 알아보려고 합니다. * 이번 공간에 앞서 알아두면 좋은 포스트 - 없음. 1....
blog.naver.com
대응되는 요소끼리 더해서 얻는 scalar 값 이라고 생각할 수 있다.
1)vㆍw = v1w1 + v2w2 + ... + vnwn
2)vㆍw = ∥v∥ * ∥w∥ * cosθ
여기서 θ는 v와 w사이의 각이다.
내적을 해서 0이면 perpendicular(수직)이다.
∥V∥ : norm. 크기. √(v1v2 + v2v2 + ... + vnvn)
unit vector 단위벡터: 길이는 1이고 방향만 가지는 vector. 내적이 1인 벡터
ex. i = (1,0), j = (0,1), u = (cosθ + sinθ)
u = V / ∥V∥는 V와 같은 방향을 가지는 단위 벡터
|uㆍU|<=1
vㆍw = 0 증명.
v = (v1, v2), w = (w1, w2)
∥v∥^2 + ∥w∥^2= ∥v+w∥^2
(v1^2+v2^2) + (w1^2 + w2^2) = (v + w)ㆍ(v + w)
" = (v1 + w1, v2 + w2) ㆍ (v1 + w1, v2 + w2) = (v1 + w1)^2 + (v2 + w2)^2 = v1^2 + v2^2 + w1^2 + w2^2 + 2v1w1 + 2v2w2
2v1w1 + 2v2w2 = 0
∵ vㆍw = 0
1. zero vector는 모든 vector와 perpendicular 하다.
2. Cosine Formula : v, w가 zero vec이 아니면, vㆍw / ∥v∥∥w∥=cosθ이다. vㆍw = ∥v∥∥w∥cosθ
3. uㆍU = cosθ -> |uㆍU| <= 1
4. Schwarz Inequality : |vㆍw| <= ∥v∥∥w∥. (2에서 cosθ가 <= 1인 걸 고려)
5. Triangle Inequality : ∥v + w∥<= ∥v∥ + ∥w∥
C : non-zero Matrix
Cx = b의 경우 해가 1개. 해가 무수히 많다. 해가 없다. 이렇게 3종류로 나뉘는데, 이 결과는 b 값에 좌우된다.
역행렬을 가질 때는, 해를 1개만 가지거나 없다.
역행렬을 안 가질 때는, 해가 무수히 많다.