20/10/17 TL. column space, null space, row space, left null space의 이해.

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[선형대수학] 4가지 부분공간 column space, nullspace, row space, left nullspace의 이해

column space는 행렬A의 column vector들로 만들 수 있는 부분 공간(subspace)이다. 행렬 A의 column space를 C(A)로 표기한다. column space를 찾기 위해서는 우선 basis vector들을 찾는 것이 중요하다.

-> independant하게 만드는 것이 중요하다는 말인 듯

 

만약 Ax = b에서 해를 구할 수 있으려면, b가 행렬A의 column space에 존재해야만 한다.

-> 공간에 존재하는 것이 해니까. 당연

 

nullspace는 column space와 아예 다른 개념으로, Ax = 0을 만족시키는 x의 집합이다. 

 

자유 변수(free variable) 중에서 하나에는 1을 대입하고, 나머지에는 0을 대입한다. 이번에는 또 다른 자유 변수에 1을 대입하고 나머지에는 0을 대입한다. 이것을 반복해서 특수해(special solution)들을 찾는다. 우리가 알고자 하는 완전해(complete solution)은 특수해들의 선형조합이다. 즉, nullspace에서의 basis vector들은 특수해들이다.

-> free var를 찾아서 일반화 한 다음에 special sol의 공간을 찾겠다는 뜻

 

row space는 

와 같이 표기한다. 

의 column space가 행렬 A의 row space이기 때문이다. 

 

 

행렬 A의 left nullspace는 

 표기에서 알 수 있듯이 

의 nullspace이다. 따라서, 

을 만족시키는 x들의 집합이 A의 left nullspace가 된다.