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GoF의 디자인 패턴
for any v, w ∈ Y, v + w ∈Y
for any v ∈ Y, cv ∈Y for any scalarc
Y : subspace of X -> 0 ∈ Y
즉, vector space라는 건, v, w를 linear combination했을 때, 나타날 수 있는 것이다.
->영벡터를 무조건 포함해야 한다.
C(A) : A의 column들의 모든 linear combinations.
Ax = b 가 답이 있으면, b는 C(A) 안에 있다.
Ax=0의 해는 A의 nullspace라고 불린다. N(A).
x, y ∈N(A)=> X+Y ∈ N(A)
A가 m x n matrix이고, Ax = 0일 때,
N(A) : subspace of R^n
C(A) : subspace of R^m
null space는 special solution의 linear combination한 결과로 나타낼 수 있다. 즉, span이다.
[-2 1] ∈ N(A)
[-2y y] = y[-2 1] 꼴로 나타낼 수 있다.
pivot이 존재하면 값이 1개이다.
free variable : pivot이 없는 column => 어떤 값을 넣든 상관 x
pivot variable : pivot이 있는 column
special solutions의 수 : free variable의 수.
rref(A) => upward를 제거하고, 전체를 pivot으로 나누어 준다.
Ax = 0 대신, Ux = 0 or Rx = 0을 풀어준다. 이게 더 쉽다.
free variable이 없다면, Ux = 0, Ax = 0일 때, x = 0. N(A) = Z
A의 column들은 independent하다.
Ax = 0, n < m일 때
적어도 n - m 개의 free variables.(0이 아닌 다른 solutions)
n > m 일 때, A의 nullspace는 subspace이다.
이 dim의 차원은 은 free variables의 수이다.
rank(A) = r. A의 rank는 pivot의 수이다.
N(A)는 (n-r) special solutions에 의해 span 되었다.